A системаи муодилаҳои алгебравии хатиро. системаи муодилаҳои якхела алгебравии хатиро

Дар мактаб, ҳар яки мо муодилаи омӯзиш ва, албатта, системаи муодилаҳои. Вале на бисёр одамон медонанд, ки бо тарзҳои ба онҳо ҳал нест. Имрӯз мо маҳз тамоми усулҳои ҳалли системаи муодилаҳои алгебравии адресатсияи, ки зиёда аз ду муодилаҳои иборат дид.

ҳикояи

Имрӯз мо медонем, ки санъати ҳалли муодилаҳои ва системаҳои худ дар Бобили қадим ва Миср сарчашма. Бо вуҷуди ин, баробарӣ дар шакли шинос онҳо ба мо пас аз ба вуїуд омадани аломати баробар ин «=», ки дар 1556 аз ҷониби сабти математик забони англисӣ муаррифӣ шуд зоҳир шуд. Бо роҳи, ки ин рамзи барои як сабаби интихоб гардид: ин маънои онро дорад, ду гурўњњои баробар мувозии. Дар ҳақиқат, беҳтарин намунаи баробарии тавр омадаам, ки на то.

Муассиси lettering муосир ва рамзҳои андозае номаълум, ки математик Фаронса Fransua Ветнам. Бо вуҷуди ин, таъиноти он ба таври назаррас фарқ аз имрӯз аст. Барои намуна, як мураббаъ аз шумораи номаълуми ӯ нома Q (. Lat "quadratus"), Ва мукааб таъйиншуда - (. Lat "cubus») ҳарфи C. Ин рамзҳои ҳоло ба назар нороҳат, вале пас аз он роҳи миёнїии бештар ба навиштани системаи муодилаҳои алгебравии хаттӣ буд.

Бо вуҷуди ин, амсолони дар усулҳои афзалиятноки ҳалли ин буд, ки риёзишиносон танҳо реша мусбат баррасӣ кардаанд. Шояд ин аст, бо сабаби он, ки арзишҳои манфӣ ягон барномаи амалӣ надорад. Яке аз ин ё он тарз, балки аввал ба назар гирифта шавад решаҳои манфӣ пас аз математика, Италия Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ва Рафаэль Bombelli дар асри 16 оғоз ёфт. Дар назар муосир, ки усули асосии ҳалли муодилаҳои quadratic (ба воситаи discriminant) танҳо дар асри 17 ба воситаи аъмоли Descartes ва Нютон таъсис дода шуд.

Дар мобайни математик Швейтсария асри 18 Ҷабраил Cramer роҳи нав ба ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ осонтар ёфт. Ин усул дертар пас аз ӯ ном дошт, ва ба ин рӯз мо аз он истифода баред. Аммо дар усули Баҳси Крамер як каме дертар, вале ҳоло мо муодилаҳои хаттӣ ва ҳалли онҳо дар алоҳидагӣ аз низоми мебароем.

муодилаҳои хатиро

муодилаҳои хатӣ - соддатарин муодилаи бо тағйирёбанда (р). Онҳо ба алгебравии тааллуқ доранд. муодилаҳои хатӣ навишта шудааст, дар шакли умумӣ зайл аст: ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... ва _н * х _н = б. Пешнињоди ин шакли мо дар тайёр намудани системаи лозим аст ва matrices бораи.

A системаи муодилаҳои алгебравии хатиро

Таърифи ин мӯҳлат аст: а маҷмӯи муодилаҳои, ки доранд, unknowns умумӣ ва ҳалли умумӣ. Одатан, дар мактаб тамоми системаи бо ду ё ҳатто се муодилаҳои ҳал. Аммо системаҳои бо чор ё зиёда ҷузъҳои нест. Биё аввал бубинем, ки чӣ тавр ба онҳо ҳастанд ва менависанд, ки баъд аз он қулай барои ҳалли буд. Якум, системаи муодилаҳои алгебравии хатиро беҳтар хоҳад назар, агар ҳамаи тағйирёбандаҳои чун х, бо шохиси дахлдор навишта шудааст: 1,2,3 ва ғайра. Дуюм, он бояд тамоми муодилаҳои ба шакли каноникӣ мерасонад: а ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... ва _н * х _н = б.

Баъд аз ҳамаи ин тадбирҳо, мо метавонем сар ба шумо мегӯям, ки чӣ тавр пайдо кардани ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ. Хеле зиёд, ки дар ҷадвал муқимӣ омад.

ҷадвал

Matrix - як миз, ки иборат аст аз сатрҳо ва сутунҳои, ва унсурҳои он дар чорроҳаи доранд. Ин метавонад ё арзиши махсуси ё тағйирёбанда. Дар бештари ҳолатҳо, ишоракунии унсурҳои, ки дар зери subscripts (мисол, як ₁₁ ва ё _23, инчунин) ташкил шаванд. Дар шохиси аввал нишон медиҳад, рақами сатр, ва дуюм - сутуни. matrices Пеш тавре ки дар боло ва ягон унсури математикӣ дигар метавонанд амалиёти гуногун иҷро. Ҳамин тавр, шумо метавонед:

1) шумурдан ва илова ба андозаи ҳамин сари суфра аст.

2) афзун кардани ҷадвал ба ягон рақами ё вектори.

3) Transpose: табдил хатҳои матритсаи дар сутунҳои, ва сутунҳои - дар хати.

4) афзун матритса, агар шумораи сатрҳои ба яке аз онҳо як миқдори гуногуни сутунҳо баробар аст.

Барои баррасӣ ба таври муфассал њамаи ин техника, ки онҳо дар оянда ба мо муфид аст. Тарҳ ва илова намудани matrices хеле осон аст. Азбаски мо бо матритсаи андозаи ҳамин, ҳар як унсури як мизи вобаста ба ҳар як унсури дигар аст. Ҳамин тавр, мо илова (шумурдан) ду аз ин унсурҳо (он муҳим аст, ки онҳо дар хоки ҳамин истода, дар matrices худ андеша доштанд). Вақте ки аз рӯи шумораи ҷадвал ё вектори фаровон шумо танҳо баробараш ҳар як унсури матритса аз тарафи, ки шумораи (ё вектори). Transposition - як раванди хеле шавқовар. Хеле ҷолиб баъзан ба ӯ дида мешавад, дар ҳаёти воқеӣ, масалан, ҳангоми тағйир додани самти як њаб ё телефони. Дар нишонаҳо ба мизи кории дар як ҷадвал аст ва бо тағйири мавқеъ, он transposed аст ва васеътар мегардад, вале кам нахоҳӣ расид.

Биёед боз як раванди ба монанди дида бароем, зарб ҷадвал. Ҳарчанд ӯ ба мо гуфт, ва муфид нест, балки огоҳ он аст, ҳанӯз ҳам муфид бошад. Афзояд ду matrices метавонад танҳо ба шарте, ки миқдори сутунҳо дар як мизи ба шумораи сатрҳои дигар баробар аст. Акнун унсурҳои як хати матритсаи ва дигар элементҳои сутуни дахлдор гиранд. Афзояд онҳо ба ҳар як маблағи дигар ва сипас (: а * б _{11 12} + ₁₂ * б ва ₂₂ i.e., барои мисол, як маҳсулот аз унсурҳои ₁₁ ва ₁₂ ва ₁₂ б ва ₂₂ б ба баробар _бошад). Ҳамин тавр, як адад мизи ягона ва усули монанд ба он аст, минбаъд пур карда мешавад.

Акнун мо метавонем сар ба назар, ки чӣ тавр ба ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ.

Gauss

Ин мавзӯъ сар ба ҷой дар мактаб. Мо хеле хуб медонанд, ки мафҳуми «системаи муодилаҳои ду хатиро» ва бидонед, ки чӣ тавр ба онҳо ҳал кунад. Аммо чӣ мешавад, агар шумораи муодилаҳои бузургтар аз ин ду аст? Ин ба мо кӯмак мекунад, усули Gauss.

Албатта, ин усули қулай аст, ки ба истифода, агар шумо дар як матритсаи система. Лекин шумо метавонед онро табдил не ва қарор дар бораи худ.

Пас, чӣ тавр ба он ҳалли ҷониби системаи муодилаҳои хаттӣ Gauss? Бо роҳи, ҳарчанд ин усули ва номи ӯ, ҷуз он ки дар замонҳои қадим кашф. Gauss дорад амалиёти бо муодилаҳои гузаронида мешавад, то ки оқибат дар маҷмўи ба шакли echelon оварда мерасонад. аст, ки, шумо ба боло ба поён (агар дуруст ҷойгир) аз аввал то охир муодилаи бояд суст мешуд яке номаълум. Ба ибораи дигар, мо бояд боварӣ ҳосил кунем, ки кардам, мегӯянд, се муодилаҳои: якум - се unknowns, дар дуюм - ду дар сеюм - як. Сипас, аз охирин муодилаи, ки мо пайдо номаълум аввал, иваз арзиши он дар дуюм ё муодилаи якум, ва минбаъд пайдо ду тағйирёбандаҳои боқимонда.

ҳукмронии Cramer кард

Барои рушди техникаи мазкур хеле муҳим аст, ки ба азхуд кардани малакаи Илова бар ин, ҳисобкунӣ аз matrices, инчунин зарурати то тавонанд пайдо кардани нишондињандањои. Аз ин рӯ, агар шумо нороҳат ин кор ҳама ё намедонанд, ки чӣ тавр, зарур омӯхта ва таълим дода мешавад.

моҳияти ин усул чӣ гуна аст ва чӣ тавр ин корро, ба даст овардани системаи муодилаҳои хаттӣ Cramer? Ин хеле осон аст. Мо бояд барои сохтани як матритсаи рақамҳои (қариб ҳамеша) ба коэффисенти системаи муодилаҳои алгебравии хатиро. Барои ин кор, танҳо шумораи номаълуми мегирад, ва мо як мизи тартиб дар тартибот, ки онҳо дар системаи навишта шудааст. Агар пеш аз шумораи аст, ки мӯъҷизае »-« Пас, мо нависед коэффитсиенти манфӣ. Пас, мо дод матритсаи якуми коэффисенти аз unknowns, аз ҷумла шумораи баъди аломати баробар ин нест, (албатта, ки муодилаи дорад ба шакли каноникӣ кам вақте ҳуқуқ танҳо як рақами, ва ба чап аст, - ҳамаи unknowns бо коэффитсиентњои). Он гоҳ ба шумо лозим аст, то чанд matrices - яке барои ҳар як тағйирёбанда. Бо ин мақсад, дар ҷадвал аввал аз тарафи як сутун, баъди аломати баробар иваз ҳар як рақами сутуни бо коэффитсиентњои. Ҳамин тавр мо ба даст чанд matrices ва сипас муайянкунандаи худ биёбанд.

Баъд мо qualifiers ёфт, он хурд. Мо ба матритсаи аввал, ва якчанд matrices ба даст омада, ки ба тағйирёбандаҳои гуногун мувофиқ нест. Барои ҳалли системаи, мо тақсим муайянкунандаи мизи натиҷа оид ба муайянкунандаи асосии сари суфра аст. Шумораи натиҷа арзиши як тағйирёбанда аст. Ба ин монанд, ба мо пайдо кардани ҳамаи unknowns.

усулҳои дигар

ҳастанд, усулҳои якчанд бо мақсади ба даст овардани ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ вуҷуд дорад. Масалан, ном усули Gauss-Ӯрдун аст, ки барои дарёфти роҳҳои ҳалли системаи муодилаҳои quadratic истифода бурда мешавад, инчунин вобаста ба истифодаи matrices. низ як усули Jacobi барои ҳалли системаи муодилаҳои алгебравии хаттӣ вуҷуд дорад. Ӯ ба осонӣ ба ҳамаи компютерҳо adapts ва дар компютерӣ истифода бурда мешавад.

ҳолатҳои душвор

Мураккабии одатан рух медиҳад, агар шумораи муодилаҳои камтар аз шумораи тағйирёбандаҳои аст. Он гоҳ мо, албатта, гуфта метавонем, ки, ё системаи номувофиѕ аст, (яъне, дорад, решаҳои), ё шумораи қарорҳои он рў ба абадият. Агар мо дар мавриди дуюм - барои навиштани ҳалли умумии системаи муодилаҳои хаттӣ зарур аст. Он на камтар аз як тағйирёбанда дар бар гирад.

хулоса

Дар ин ҷо мо ба интиҳо фаро хоҳад расид. Хулоса: мо барои фаҳмидани он чӣ дар матритсаи системаи, фаҳмидем, ки ба пайдо кардани ҳалли умумии системаи муодилаҳои хаттӣ. Илова бар ин, мо имконоти дигар ба шумор меравад. Мо фахмидам, ки чӣ тавр ба ҳалли системаҳои муодилаҳои хаттӣ: бартараф Gaussian ва роҳбарии Cramer мекунад. Мо дар бораи ҳолатҳои душвор ва бо роҳҳои дигар дарёфти ҳалли гуфтугӯ мекарданд.

Дар асл, ин масъала аст, хеле васеъ бештар, ва агар шумо мехоҳед, ки ба он ақл беҳтар, ки мо ба шумо маслиҳат ба хондани бештар аз адабиёти махсус.