Хатӣ ва муодилаи дифференсиалии якхела кардани тартиби якум. намунаҳои ҳалли

Ман фикр мекунам, мо бояд бо таърихи воситаи математикии пурҷалол ҳамчун муодилаҳои дифференсиалии оғоз. Мисли тамоми дифференсиалии ва ҳисоби таркибии ин муодилаҳои аз тарафи Нютон дар охири асри 17 ихтироъ карда шуданд. Ӯ имон оварданд аз он кашфи худ муҳим, ки ҳатто паёми рамзикунонидашуда, ки имрӯз метавон ҳамчун тарҷума зайл буд: «. Ҳамаи қонунҳои табиат шарҳ тавассути муодилаҳои дифференсиалии" Он метавонад як муболиға назар, вале он ҳақиқӣ. Ягон қонуни физика, химия, биология, мумкин аст аз ҷониби ин муодилаҳои тавсиф карда шудаанд.

Як саҳми бузург дар соњаи рушд ва ташкили назарияи муодилаҳои дифференсиалии доранд, математика аз Эйлер ва Lagrange. Аллакай дар асри 18 кашф кунанд ва ба издивоҷ чӣ гуна аст, ки ҳоло дар курсҳои калони донишгоҳ таҳсил.

Дар марҳалаи нави дар омӯзиши муодилаҳои дифференсиалии шукр Anri Puankare оғоз ёфт. илм дар бораи фазо ва хосиятҳои он - ӯ як "назарияи сифатии муодилаҳои дифференсиалии", ки дар якҷоягӣ бо назарияи функсияҳои тағйирёбандаҳои мураккаб ба таври назаррас ба таҳкурсии топология мусоидат биёфарид.

муодилаҳои дифференсиалии чист?

Бисёре аз одамон метарсанд, ибораи «муодилаи». Бо вуҷуди ин, дар ин мақола мо берун муфассал моҳияти ин воситаи хеле муфид риёзӣ аст, ки дар асл ба сифати мураккаб чун аз унвони назар мерасад, нест. Бо мақсади ба сар гап дар бораи як муодилаи якум-тартибот, дар аввал шумо бояд шиносоӣ бо мафњумњои асосии ки моҳиятан бо ин таърифи вобаста шинос шуд. Ва Мо бо дифференсиалии оғоз.

дифференсиалии

Бисёр одамон ин истилоҳ аз мактаби миёна медонам. Бо вуҷуди ин, ҳанӯз ҳам дар он сокин муфассал. Тасаввур кунед, ки графикаи функсияи. Мо метавонем аз он ба чунин андозае, ки ягон сегменти он як хати рост мегардад зиёд мешавад. Ин ду хол, ки бениҳоят ба ҳамдигар наздик мебошанд мегирам. Фарқи байни координатаҳои онҳо (х ё Y) infinitesimal аст. Ва он номида дифференсиалии ва аломатҳои муайян dy (гуногуни Y) ва dx (аз гуногуни х). Ќайд кардан зарур аст, ки ба ақл, ки фарқкунандаи аст, арзиши ниҳоӣ нест, ва ин ба маънои вазифаи асосї мебошад.

Ва акнун шумо бояд унсурҳои зеринро, ки мо бояд ба фаҳмонидани консепсияи муодилаи дида бароем. Ин - ҳосилаи.

ҳосилаи

Ҳамаи мо бояд дар мактаб ва ин мафҳуми шунид. Онҳо мегӯянд, ки ҳосилаи - суръати афзоиши ё камшавии функсия аст. Бо вуҷуди ин, ки ин таърифи печида мегардад. Биёед кӯшиш ба шарҳ шартҳои ҳосилшуда аз фарќиятњои. Биёед баргаштан ба Функсияи фосилаи infinitesimal бо ду хол, ки дар масофаи ҳадди ақал аз якдигар ҷойгир шудааст. Вале ҳатто берун аз ин функсия масофаи вақт ба тағйир додани баъзе аз арзиши аст. Ва тасвир, ки тағйирот ва омад, то бо ҳосилаи тартиби дигаре мебуд, ки ҳамчун таносуби фарќиятњои навишта мешавад: Д (х) '= ХДФ / dx.

Акнун он ба инобат хосиятҳои асосии ҳосилаи зарур аст. танҳо се вуҷуд дорад:

1. Маблағи ҳосилшуда ва ё фарқи онҳоро метавон ҳамчун маблағи ё фарқи аз ҳосилаҳои муаррифӣ: (а + б) '= а' + б ', ва (AB)' = a'-б ».
2. Амволи дуюм аст, ки бо зарб алоқаманд аст. - корҳои ҳосилшуда маблағи аз аъмоли як вазифаи ба ҳосилаи дигар аст: (а * б) '= а * б + а * б ».
3. Дар ҳосилаи фарқи онҳоро метавон чун муодилаи зерин навишта шудааст: (а / б) '= (а' * Ҷаҳиш * б ') / б ^2.

Ҳамаи ин хусусиятҳо дар муқимӣ барои дарёфти ҳалли муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум омад.

Ҳамчунин, ҳастанд ҳосилаҳои қисман нест. Фарз мекунем, ки мо як вазифаи Z, ки вобаста ба тағйирёбандаҳои х ва Y. Барои њисоб кардани ҳосилаи қисман ба ин вазифа, барои мисол, дар х, мо бояд ба гирифтани Y тағйирёбанда барои доимӣ ва осон ба фарѕ.

људонашавандаи

Дигар мафҳуми муҳим - ҷудонашавандаи. Дар асл он баръакси ҳосилаи аст. Integrals чанд навъи мебошанд, вале соддатарин ҳалҳои муодилаҳои дифференсиалии, ба мо лозим аст, ки андаке бештар integrals абад.

Пас, чӣ људонашавандаи аст? Биё мегӯянд, ки мо баъзе аз муносибати ф х доранд. Мо аз он гирифта таркибии ва гирифтани F функсияи (х) (аз он аст, аксар вақт ба сифати ибтидоӣ номида мешавад), ки як ҳосилаи функсияи аслии. Аз ин рӯ F (х) '= д (х). Ин ҳамчунин маънои онро, ки таркибии ҳосилаи ба вазифаи аслии баробар аст.

Дар ҳалли муодилаҳои дифференсиалии он хеле муҳим аст, ки ба фаҳмидани маънои ва вазифаи људонашавандаи, зеро хеле вақт доранд, ки онҳоро ба пайдо кардани роҳҳои ҳалли.

Дар муодилаҳои вобаста ба табиати худ гуногун мебошанд. Дар боби оянда хоҳем дар намуди муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум назар, ва он гоҳ чӣ тавр ба онҳо ҳал кунад.

Синфҳо муодилаҳои дифференсиалии

"Diffury" тақсим ба фармони ҳосилаҳои иштирок дар онҳо. Ҳамин тавр аст, ки тартиби якум, дуюм, сеюм ё бештар вуҷуд дорад. оддӣ ва қисман: онҳо низ метавонанд ба якчанд дарсҳои тақсим карда мешавад.

Дар ин мақола мо дида мебароем, муодилаҳои дифференсиалии оддии тартиби аввал дида мебароем. Намунаҳои ва ҳалли мо дар фаслњои зерин дида мебароем. Мо дида мебароем танҳо TAC зеро ин намудҳои маъмултарини муодилаҳои аст. Оддӣ ба subspecies тақсим мешавад: бо тағйирёбандаҳои separable, якхела ва гетерогенӣ. Баъд шумо чӣ тавр онҳо аз якдигар фарқ мекунанд, ва чӣ тавр ба онҳо ҳал кунад.

Илова бар ин, дар ин муодилаҳои метавон дар якҷоягӣ, ба тавре ки баъд аз мо системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум ба даст. Чунин системаҳои, мо низ дар назар гиред, ки чӣ тавр ба ҳалли.

Чаро мо бо назардошти танњо бо тартиби аввал? Зеро он зарур аст, ки бо як оддӣ оғоз ва дар бораи ҳама марбут ба муодилаҳои дифференсиалии, дар як мақолаи ягонаи он имконнопазир аст.

Муодилаҳои бо тағйирёбандаҳои separable

Ин аст, шояд муодилаҳои оддӣ аз ҳама аввал ва тартибот гуногуни. Y '= д (х) * д (Y): Ин мисолҳо, ки мумкин аст ба сифати навишта мешавад. Барои ҳалли ин муодилаи ба мо лозим аст, ки формулаи намояндагии ин ҳосилаи ҳамчун таносуби фарќиятњои: Y '= dy / dx. dy / dx = е (х) * д (Y): Бо он ки мо муодилаи ба даст меорад. дар қитъаҳои пеш тамоми Y тағйирёбанда дар қисми ҷое dy ҷо ҷудо тағйирёбандаҳои, яъне рӯза, ва низ х тағйирёбанда кунад ...: Акнун мо метавонем ба усули ҳалли мисолҳои стандартӣ рӯй dy / д (Y) = д (х) dx, ки аз ҷониби бо назардошти integrals аз ду қисм бадастомада: Мо муодилаи шакли ба даст меорад. Оё дар бораи ин доимии фаромӯш накунед, ки шумо мехоҳед пас аз интегратсияи ба гузошта.

Дар ҳалли ҳама гуна "diffura» - ин вазифаи х тарафи Y (дар мисоли мо) аст, ва ё агар дар як ҳолати рақамӣ вуҷуд дорад, ҷавоб як қатор аст. Биёед мисоли мушаххас курси пурраи қарори дида бароем:

Y '= 2y * гуноҳ (х)

Ирсол ба тағйирёбандаҳои дар самтҳои гуногун:

dy / Y = 2 * гуноҳ (х) dx

Акнун integrals мегирад. Ҳамаи онҳо мумкин аст, дар як мизи махсуси integrals ёфт. Ва мо ба даст:

LN (Y) = -2 * cos (х) + C

Агар талаб карда, мо метавонем «Y» ҳамчун вазифаи «X» ифода. Ҳоло мо гуфта метавонем, ки муодилаи мо ҳал мешавад, агар шарти мушаххас нест. Метавонанд ҳолати муайян, масалан, Y (м / 2) = д. Сипас, мо танҳо арзиши ин тағйирёбандаҳои дар қарори хоҳад иваз ва пайдо кардани арзиши доимӣ. Дар мисоли мо, он 1 аст.

муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум якхела

Акнун ба қитъаҳои мураккаб бештар. Y '= Z (х, Y): муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум якхела мумкин аст, дар шакли умумӣ мисли навишта шудааст. Бояд қайд кард, ки вазифаи рости ду тағйирёбандаҳои ягонаи аст, ва на он метавон ба ду вобаста ба тақсим мешавад: Z х ва Z аз Y. Санҷед, ки оё муодилаи якхела аст ё не, хеле оддӣ аст: мо иваз х = К * х ва Y = К * Y. Акнун мо бурида ҳамаи К. Агар ин номаҳо тарк кунанд, муодилаи якхела ва метавонад наҷоташон диҳад ва ба ҳалли он гиранд. Looking пеш, ки мо, мегӯянд: принсипи ҳалли ин мисолҳои аст, низ хеле осон.

Мо бояд ба иваз: Y = т (х) * х, ки дар он т - як Функсияи, ки дар х, низ вобаста аст. Y '= т' (х) * Х + т Сипас, мо метавонем, ки ҳосилаи баён мекунад. Иваз кардани ҳамаи ин ба муодилаи аслии мо ва содда аз он, мо ба намунаи таќсими тағйирёбандаҳои т чун х. Ҳалли он ва гирифтани вобастагии т (х). Вақте ки мо онро гирифта, танҳо гузашта иваз Y = т мо (х) * х иваз. Сипас, мо вобастагии Y оид ба х, ба даст меорад.

Барои он равшантар, мо мисол фаҳмидани: х * Y '= yx * д Y / х.

Вақте ки санҷиши иваз намудани ҳамаи коҳиш меёбад. Пас, муодилаи ҳақиқат якхела аст. Акнун иваз дигар кунад, мо дар бораи гуфтугӯ: Y = т (х) * х ва Y '= т' (х) * Х + т (х). Баъд аз содда муодилаи зерин: т '(х) * х = -e т. Мо ба қарор гирифтани намуна бо тағйирёбандаҳои чудо ва мо ба ^{даст: д -t = LN (C *} х). Мо танҳо лозим аст, ки иваз т тарафи Y / х (чунки агар Y = т * х, пас т = Y / х), ва мо ^ҷавоб ба ^{даст: д -y / х = LN (} х * C).

Муодилаи дифференсиалии хатӣ тартиби якум

Он вақт ба инобат дигар мавзӯи васеъ аст. Мо муодилаҳои дифференсиалии аввал ва тартибот гетерогенӣ назар. Чӣ тавр онҳо аз ду гузашта фарқ мекунад? Биёед бо он рӯ ба рӯ мешаванд. муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум хатӣ дар шакли умумии муодилаи мумкин ҳамин тавр навишта шудааст: Y '+ г (х) * Y = Z (х). Бояд равшан шавад, ки Z (х) ва г (х) метавонад арзишҳои доимӣ.

- Y * х = Y: Ин намунаи кард х ^2.

Ду роҳҳои ҳал нест ва мо фармон Биёед ҳар дуи онҳо дида бароем. Дар аввал - усули омадушуди constants худсарона.

Барои ҳалли муодилаи ба ин тариқ, зарур аст, ки ба баробар аввал тарафи дасти ростро ба сифр, ва ҳалли муодилаи натиҷа ки пас аз супоридани қитъаҳои мегардад:

Y '= Y * х;

dy / dx = Y * х;

dy / Y = xdx;

LN | Y | = х ^2/2 + C;

Y = д ^{x2 / 2} * ^C Y = C ₁ * д ^{x2 / 2.}

Акнун он ба ҷои доимии C ₁ Функсияи ояти (х), ки мо пайдо хоҳад кард зарур аст.

Y = V * д ^{x2 / 2.}

Наздик як ҳосилаи иваз:

^{Y '= V' * д x2} / ² -x * V * д ^{x2 / 2.}

Ва ивазкунандаи ин ибораҳо ба муодилаи аслии:

ояти '* д ^{x2 / 2} - х * V * д ^{x2 / 2} + х * V * д ^{x2 / 2} = х ^2.

Шумо метавонед, ки дар соҳили чапи аз ду муддатро шудаанд кам карда мешавад. Агар баъзе мисолҳои ин тавр нест, пас чизе нодуруст рафтор кардем. Мо ба давом:

ояти '* д ^{x2 / 2} = х ^2.

Акнун мо ҳалли муодилаи муқаррарии ки дар он шумо мехоҳед, ки ба ҷудо намудани таъғироти:

DV / dx = х ^{2 /} д ^x2 / ^2;

DV = х ² * д ^{- x2 / 2} dx.

Барои хориҷ кардани људонашавандаи, мо ба кор бурдани ҳамгироӣ бо қисмҳои ин ҷо. Аммо, ин аст, ки мавзӯи іамин модда нест. Агар шумо манфиатдор ҳастед, шумо метавонед дар бораи худ барои иҷрои чунин амал омӯхта метавонем. Ин аст, душвор нест, ва бо маҳорат ва нигоҳубини кофӣ аст вақтро сарф аст.

Бо ишора ба усули дуюм ҳалли муодилаҳои inhomogeneous: усули Bernoulli. Чӣ муносибати аст, зудтар ва осонтар - он то ба шумо.

Пас, вақте ки ҳалли ин усул, ба мо лозим аст, ки иваз: Y = К * н. Дар ин ҷо, К ва М - баъзе вазифаҳои вобаста ба х. Он гоҳ, ки ҳосилаи мисли назар: Y '= К' * н + К * н '. ду substitutions ҷонишине дар муодилаи:

К '* н + К * н ' + Х * К * м = х ^2.

Гурӯҳи то:

К '* н + К * ( н' + х * м) = х ^2.

Акнун зарур аст, ки баробар ба сифр, яъне дар қавс. Акнун, агар шумо дар якчояги ду муодилаҳои натиҷа, мо ба даст овардани як системаи муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум шавад ҳал:

н '+ Х * о = 0;

* К 'н = х ^2.

Дар аввал баробарии қарор, ки чӣ тавр муодилаи маъмулӣ. Барои ин кор, ба шумо лозим аст, ки ҷудо тағйирёбандаҳои:

Д.Н / dx = х * V;

Д.Н / м = xdx.

Мо гиранд таркибии ва мо дастрас намоед: LN (н) = х ^2/2. Пас, агар мо баён о:

м = д ^{x2 / 2.}

Акнун муодилаи натиҷа ба муодилаи дуюм худ ҷойнишинӣ мекунад:

К '* д ^{x2 / 2} = х ^2.

Ва табдил мо муодилаи ҳамон тавре, ки дар даст усули якум:

НД = х ^{2 /} д ^x2 / ^2.

Мо ҳамчунин амалиёти минбаъда баррасӣ нест. Гуфта мешавад, ки дар муодилаҳои дифференсиалии аввали тартибот аввал ҳалли боиси мушкилоти калон дорад. Бо вуҷуди ин, як таъмид амиқтар дар ин мавзӯъ аст, сар ба даст беҳтар ва беҳтар.

муодилаҳои дифференсиалии куҷоянд?

муодилаҳои дифференсиалии хеле фаъол истифода бурда, дар физика, ки қариб ҳамаи қонунҳои асосӣ дар шакли гуногуни навишта шудааст, ва онҳое, формулаҳо, ки мо мебинем, - ҳалли ин муодилаҳои. Дар химия, онҳо барои њамин сабаб истифода мешаванд: қонунҳои асосӣ ба василаи онҳо ба даст. Дар биология, муодилаҳои дифференсиалии шудаанд, истифода бурда мешавад, ба намунавї рафтори системаҳои, ба монанди даррандаи - тӯъмаи. Онҳо ҳамчунин метавонанд истифода бурда шаванд, ба сохтани модели таҷдид, барои мисол, колонияҳои микроорганизмњо.

Тавре муодилаҳои дифференсиалии дар ҳаёти кӯмак мекунад?

Дар ҷавоб ба ин савол содда аст: ҳеҷ чиз. Агар шумо як олим ё муҳандисӣ нест, он аз эҳтимол дур аст, ки онҳо муфид хоҳад буд. Бо вуҷуди ин, зиёне нарасонанд ба он чӣ медонем, муодилаи ба он аст, ки барои рушди умумии ҳал карда мешавад. Ва он гоҳ, ки масъалаи як писар ё духтар, «чӣ муодилаи?» Оё шумо дар охири мурда таваккал накунем. Хуб, агар шумо дар як олим ё муҳандисӣ аст, Пас шумо медонед, аҳамияти ин мавзӯъ дар ҳама гуна илм. Вале муҳимтар аз ҳама, ки ҳоло ба саволи «чӣ тавр ба ҳалли муодилаи намудани тартибот аввал?» Шумо ҳамеша қодир ба ҷавоб диҳед хоҳад буд. Ханӯз ки, он аст, ҳамеша хуб, вақте ки шумо дарк мекунанд, ки чӣ гуна одамон ҳатто метарсанд, ки ба пайдо.

Проблемањои асосї дар омӯзиши

Проблемаи асосӣ дар дарки ин мавзӯъ як одати бад аз ҳамгироӣ ва тафовути вазифаҳо аст. Агар шумо нороҳат ҳастанд, фикр ҳосилаҳои ва integrals, он аст, шояд ба маблағи бештар барои омӯхтани, ба ёд усулҳои гуногуни ҳамгироӣ ва тафовути, ва танҳо баъд ба омўзиши мавод, ки дар мақолаи тавсиф карда гиранд.

Баъзе одамон ҳайрон ба ёд, ки dx гузаронидан мумкин аст, тавре ки дар боло (дар мактаб) дар садади он њиссаи dy / dx тақсимнашаванда аст. Он гоҳ ба шумо лозим аст ба хондани адабиёти бар ҳосилаи ва дарк мекунем, ки дар он муносибати миқдори бениҳоят хурд, ки мумкин аст, дар ҳалли муодилаҳои ҷонибдорӣ аст.

Бисёр одамон дарҳол дарк намекунанд, ки ҳалли муодилаҳои дифференсиалии тартиби якум - ин аст, аксар вақт як вазифа ё neberuschiysya ҷудонашавандаи, ва ин фиреб ба онҳо медиҳад, ки ба мушкилиҳо дучор.

Боз чӣ метавонад омӯхта барои беҳтар фаҳмидани?

Беҳтарин вақт барои оғози таъмид минбаъд ба ҷаҳон аз ҳисоби гуногуни дарсии махсусгардонидашуда, ки барои мисол, дар таҳлили математикӣ барои донишҷӯёни ихтисосҳои ғайридавлатӣ математика. Пас шумо метавонед ба адабиёти махсус бештар ҳаракат.

Дар он гуфта мешавад, ки ба ғайр аз дифференсиалии, ҳанӯз ҳам муодилаҳои интегралии нест, бинобар ин шумо ҳамеша чизи кӯшиш ва он чиро, ки ба таҳсил хоҳад шуд.

хулоса

Мо умедворем, ки пас аз хондани ин мақола ба шумо хоҳад фикри чӣ муодилаҳои дифференсиалии ва чӣ тавр ба онҳо ҳалли дуруст дошта бошад.

Дар ҳар сурат, математика дар ҳама гуна роҳ барои мо муфид дар ҳаёт. Ин инкишоф мантиқ ва диққати, ки бе он ба ҳар кас, ки бе дасти.