Фарќиятњои - ин чӣ аст? Чӣ тавр пайдо кардани гуногуни функсияи?

Дар баробари бо ҳосилаҳои вазифањои онњо фарќиятњои - он баъзе аз мафҳумҳои асосии аз ҳисоби гуногуни, қисмати асосии таҳлили математикӣ. Тавре таври ҷудонопазир алоқаманд, ҳар дуи онҳо якчанд асрҳо ба таври васеъ дар ҳалли қариб ҳамаи мушкилоте, ки дар рафти фаъолияти илмӣ ва техникии бархост истифода бурда мешавад.

Дар пайдоиши консепсияи дифференсиалии

Барои нахустин бор нишон дод, ки чунин як гуногуни, яке аз муассисони (дар якҷоягӣ бо Isaakom Nyutonom) дифференсиалии ҳисоби машҳури Олмон математик Gotfrid Vilgelm Leybnits. Пеш аз он, ки ба риёзишиносон асри 17. истифода бурда идеяи хеле норавшан ва норавшан баъзе infinitesimal »ба кораш« аз ҳар гуна вазифае, маълум, намояндагони арзиши хеле хурд доимӣ, аммо ба сифр баробар нестанд, дар зер, ки қадр функсияи нест, метавонад танҳо бошад. Аз ин рӯ он танҳо як қадам ба ҷорӣ намудани мафњуми increments infinitesimal далелҳои Функсияи ва increments дахлдори худ аз вазифаҳои, ки мумкин аст дар робита ба ҳосилаҳои аз охирин изҳори буд. Ва ин қадами қариб ҳамзамон дар боло ду олимони бузург гирифта шуд.

Дар асоси оид ба зарурати ҳалли фаврии мушкилоти амалии механикаи, ки муқовимат илм босуръат рушдёбанда саноат ва технология, Нютон ва носифрии роҳҳои ягонаи дарёфти вазифаи суръати тағйирёбии (хусусан бо назардошти суръати механикии Бадани траекторияи маълум), ки боиси ҷорӣ намудани чунин консепсия офаридааст, ҳамчун вазифаи ҳосилаи ва фарқкунандаи, инчунин пайдо кардани алгоритми зарбии ҳалли мушкилот маълум ростхатта (тағйирёбанда) суръати мегузарад, то пайдо кардани роҳи кардааст, ки ба мафҳуми ҷудонашавандаи бурданд Ala.

Дар аъмоли носифрии ва Нютон андешаи аввал чунин ба назар расид, ки фарќиятњои - мутаносибан ба афзоиши аз далелҳои асосии Δh increments вазифаҳои Δu, ки метавонад бомуваффақият истифода бурда мешавад, ба ҳисоб арзиши охирин аст. Ба ибораи дигар, онҳо кашф намуданд, ки вазифаи афзоиши метавонад ҳар нуқтаи (дар домейни худро аз таърифи) бошад ба воситаи он ҳосилаи ду Δu = Y '(х) Δh + αΔh ҷо α Δh изҳори - боқимонда, чаронидани ба сифр ҳамчун Δh → 0, хеле зудтар аз Δh воқеии.

Бино ба муассисони таҳлили математикӣ, ки фарќиятњои - ин аст, маҳз ба аввалин дарозмуддат дар increments ягон функсияҳои. Ҳатто бе доштани равшан муайян Пасиҳамоии консепсияи лимити доранд, зеҳнан фаҳмиданд, ки арзиши гуногуни ҳосилаи рў ба фаъолият вақте Δh → 0 - Δu / Δh → Y »(х).

Баръакси Нютон, ки пеш аз ҳама як физики ва дастгоњи математикӣ ҳамчун воситаи ёрирасон барои омӯзиши мушкилоти ҷисмонӣ ба ҳисоб буд, носифрии таваҷҷӯҳи бештар ба ин абзори пардохт, аз ҷумла системаи рамзҳои визуалӣ ва фањмо, арзишҳои математикӣ. Ин буд, ки пешниҳод ба ѕайди стандартии фарќиятњои Функсияи dy = Y '(х) dx, dx ва ҳосилаи функсияи далели ҳамчун Y муносибати онҳо »(х) = dy / dx.

Дар таърифи муосир

Дар гуногуни дар робита ба математика муосир чӣ гуна аст? Ин аст, зич ба консепсияи як инкремент тағйирёбанда вобаста аст. Агар тағйирёбанда Y мегирад арзиши аввали Y Y = _1, он гоҳ Y = _Y-2, Y фарқи ₂ ─ Y ₁ номида Y арзиши афзоиши. Ба афзоиши метавонад мусбат. манфӣ ва сифр. Калимаи «инкремент" таъин шудааст Δ, Δu сабт (хонда 'резишгоҳи Y) ифода арзиши Y афзоиши аст. Пас Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Агар арзиши Δu вазифаи худсарона Y = е (х) метавонад ҳамчун Δu = A Δh + α, ки дар он як нест, вобастагии Δh, т аст, намояндагӣ мекунанд. E. A = const барои х дода ва мӯҳлати α ҳангоми Δh → 0 рў ба он аст, ҳатто зудтар аз Δh воқеӣ, он гоҳ аввал ( «меъмори моҳир») ба мӯҳлати мутаносибан Δh аст, ва барои (х) дифференсиалии Y = д, denoted dy ё фермерї (х) (хондани «Y-де», «де eff аз X»). Аз ин рӯ фарќиятњои - як «асосии" адресатсияи нисбат ба ќисматњои increments вазифаҳои Δh.

баёни механикии

Биёед р = д (т) - дар масофаи дар як хати рост ҳаракат љињати моддї аз вазифаи аввал (т - вақти сафар). Афзоиши Δs - нуқтаи роҳи давоми як фосилаи вақти Δt аст, ва DS фарқкунандаи ба = д »(т), Δt - ин роҳи, ки нуқтаи шавад, барои ҳамин баргузор Δt, агар он нигоҳ дошта суръати д» (т), расид вақти т . Вақте ки як DS Δt роҳи мавҳум infinitesimal аз Δs воқеии infinitesimally доштани тартибот олӣ нисбат ба Δt фарқ мекунад. Агар суръати дар вақти т аст, ки ба сифр баробар набошад, DS арзиши тақрибии медиҳад, нуқтаи Хатои хурд.

тафсир геометрии

Бигзор хати L графикаи аз (х) Y = д аст. Сипас Δ х = MQ, Δu = QM »(ниг. Расми поён). Хати тамос ба М.Н. байъатро Δu бурида ба ду қисм, QN ва Н.М. ». Якум ва Δh аст мутаносиб QN = MQ ∙ tg (QMN кунҷи) = Δh д '(х), Т. E QN дифференсиалии dy аст.

Дар қисми дуюми фарќияти Δu NM'daet ─ dy, вақте ки Δh дарозии → 0 Н.М. 'кам ҳам тезтар аз афзоиши далели, яъне он дорои тартиби smallness баландтар аз Δh. Дар ин ҳолат, агар (х) ≠ 0 (арктангенси ғайри мувозӣ барзагов), гурўњњои д QM'i QN баробар; ба ибораи дигар Н.М. 'босуръат кам (тартиби smallness олии он), аз афзоиши ҳаҷми умумии Δu = QM. Ин аз он аён дар ҷадвали (сегменти наздик M'k Мард NM'sostavlyaet ҳамаи фоиз QM 'сегменти хурд) аст.

Пас, графикї дифференсиалии Функсияи худсарона ба афзоиши намудани ҳамоҳангсозии аз тангенс баробар аст.

Ҳосилшуда ва дифференсиалии

Омили дар мӯҳлати якуми функсияи баён инкремент арзиши д ҳосилшуда он '(х) баробар аст. Ҳамин тариқ, баъди муносибати - dy = е '(х) Δh ё фермерї (х) = д' (х) Δh.

Маълум аст, ки ба афзоиши далели мустақил барои дифференсиалии Δh = dx он баробар аст. Бинобар ин, мо метавонем нависед: е '(х) dx = dy.

Дарёфти (баъзан гуфта бошад, "қарори") тафовут бо ҳамон қоидаҳои барои ҳосилаҳои анҷом дода мешавад. Рӯйхати аз онҳо дар поён дода шудааст.

Чӣ универсалӣ бештар аст: афзоиши далели ё фарқкунандаи он

Дар ин ҷо ба он диҳанд, ки баъзе тавзењот зарур аст. Намояндагии арзиши е '(х) дифференсиалии Δh имконпазир ҳангоми баррасии х, ҳамчун як бурҳони. Аммо Функсияи метавонад мураккаб, ки дар он х, метавонад як вазифаи т далели аст. Он гоҳ, ки намояндагии изҳори гуногуни е '(х) Δh, чун ќоида, ба он ғайриимкон аст, ба истиснои дар мавриди вобастагии хатиро х = дар + б.

Ба формулаи е '(х) dx = dy, пас дар мавриди далели х мустақил (он гоҳ dx = Δh) дар ҳолати вобастагии parametric х т, он дифференсиалии аст.

Барои мисол, баёни 2 х Δh аст барои Y = х ² гуногуни он вақте ки х, баҳс аст. Мо ҳоло х = Т ² Т далели фарз. Сипас Y = х ² = т ^4.

Ин аст, аз тарафи (т + Δt) ² = Т ² + 2tΔt + Δt ^{2 карданд.} Аз ин рӯ Δh = 2tΔt + Δt ^2. Аз ин рӯ: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Ин ибора нест, мутаносибан ба Δt, ва аз ин рӯ аст, ки ҳоло 2xΔh аст дифференсиалии нест. Ин мумкин аст, ки аз Y муодилаи = х ² = т ^{4 ёфт.} Ин dy баробар = 4t ³ Δt аст.

Агар мо 2xdx баён, аз он гуногуни Y = х ² барои т далели аст. Дар ҳақиқат, вақте ки х = Т ² даст dx = 2tΔt.

Пас, 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, т. E. Дар фарќиятњои баён сабт аз тарафи ду тағйирёбандаҳои гуногун, мувофиқат кунад.

Иваз increments фарќиятњои

Агар е '(х) ≠ 0, пас Δu баробаркардашуда dy (вақте Δh → 0); Агар е '(х) = 0 (ба маънои dy = 0), онҳо баробар нест.

Барои мисол, агар Y = х ^2, он гоҳ Δu = (х + Δh) ² ─ х ² = 2xΔh + Δh ² ва dy = 2xΔh. Агар х = 3, он гоҳ мо Δu = 6Δh + Δh ² ва dy = 6Δh, ки баробар бо сабаби Δh ² → 0 мебошанд, вақте ки х = 0 арзиши Δu = Δh ² ва dy = 0 ҳастанд баробари нест.

Ин асл, дар якҷоягӣ бо сохтори оддӣ аз дифференсиалии (м. E. Linearity дар робита бо Δh), ки аксар вақт ба њисоби тахминии оид ба гумони истифода бурда мешавад, ки Δu ≈ dy барои хурди Δh. Пайдо кардани функсияи гуногуни аст, одатан осонтар назар ба ҳисоб арзиши дақиқи афзоиши.

Масалан, мо мукааб металлии бо канори х = 10.00 см. Дар гарм канори lengthened оид ба Δh = 0,001 см. Чӣ зиёд ҳаҷми мукааб V? Мо V = х ^2, ба тавре ки DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (см ^3). Зиёд ΔV дифференсиалии баробар DV, ба тавре ки ΔV = 3 см ^3. њисоб пурра боз ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ марти = 3.003001 дод. Аммо натиҷаи ҳамаи рақам ба истиснои аввал беэътимод; Бинобар ин, он аст, ҳанӯз зарур мудаввар то 3 см ^3.

Аён аст, ки ин муносибати хеле фоиданок аст, агар танҳо дар он имконпазир аст, барои ҳисоб кардани арзиши imparted бо гумроҳӣ.

Функсияи гуногуни: мисолҳои

Биёед кӯшиш барои ёфтани гуногуни Функсияи Y = х ^3, пайдо кардани ҳосилаи. Биёед диҳад, далели афзоиши Δu ва муайян намояд.

Δu = (+ Δh х) ³ ─ х ³ = ² + 3x Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Дар ин ҷо, коэффитсиенти A = 3x ² на аз рӯи Δh вобаста нест, ба тавре ки аввалин мӯҳлати мутаносибан Δh, ба дигар аъзои 3xΔh Δh ² + ³ Вақте ки Δh → 0 коҳиш тезтар аз афзоиши далели. Аз ин рӯ, узви 3x ² Δh аз гуногуни = х ³ Y ^аст:

dy = 3x ² Δh = 3x ² dx ё г (х ³⁾ = 3x ² dx.

Дар он г (х ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Мо ҳоло пайдо кардани функсияи Y ба = 1 / х аз тарафи ҳосилаи. Сипас г (1 / х) / dx = ─1 / х ^2. Аз ин рӯ dy = ─ Δh / х ^2.

Фарќиятњои функсияҳои асосии алгебравии поён дода мешавад.

ҳисобҳои тахминии истифодаи дифференсиалии

Барои арзёбии функсияи F (х), ва он ҳосилшуда е '(х) дар х = а одатан душвор, вале, ки дар баробари дар қарибии х = а аст, осон нест. Сипас ба кӯмаки ифодаи тақрибии меояд

д (а + Δh) ≈ д '(а) Δh + д (а).

Ин имкон медиҳад, арзиши тақрибии функсияи дар increments хурд ба воситаи гуногуни он Δh д '(а) Δh.

Аз ин рӯ, дар ин формула медиҳад ифодаи тақрибии барои функсияи дар нуқтаи охири, ки насибе аз дарозии Δh ҳамчун маблағи арзиши он дар нуқтаи оғози қисми (х = а) ва фарқкунандаи дар нуќтаи ибтидої ҳамин. Дурустии усули муайян намудани арзишҳои функсияи поён расм нишон дода шудааст.

Вале маълум ва ифодаи дақиқ барои арзиши функсияи х = а + Δh дода формулаи increments ниҳоӣ (ё, Интихобан, формулаи Lagrange кард)

д (а + Δh) ≈ д »(ξ) Δh + д (а),

ки дар банди х = а + ξ, дар фосилаи аз х = а ба х = а + Δh аст, ҳарчанд мавқеи дақиқ он норавшан аст. Дар формулаи дақиқ имкон медиҳад, ки арзёбии иштибоҳи формулаи тақрибии. Агар мо дар Lagrange формулаи ξ = Δh / 2 гузошта, бо вуҷуди он, ҳастии бошад дақиқ, балки медиҳад, чун қоида, дар муносибати хеле беҳтар аст, аз ифодаи аслӣ дар робита ба дифференсиалии.

Хатои формулаҳои Баҳодиҳӣ бо истифода аз дифференсиалии

воситаҳои ченкунӣ , ки дар принсипи, нодуруст, ва онҳо ба маълумоти ченкунӣ дахлдор ба тариқи барбодӣ бошад. Онҳо аз тарафи маҳдуд тавсиф хаторо мутлақ, мусбат, ба таври равшан аз ҳад гумроҳиро дар арзиши мутлақ (ё бештар баробар ба он) - ё, дар кӯтоҳмуддат, ки гумроҳӣ дарнагузашт. Маҳдуд кардани хатои нисбӣ аст quotient даст таќсим он арзиши мутлаќи арзиши чен номида мешавад.

Бигзор дақиқ формулаи Y = е (х) функсияи истифода vychislyaeniya Y, балки арзиши х натиҷаи ченкунии аст, ва аз ин рӯ меорад гумроҳӣ Y аст. Пас, барои ёфтани маҳдуд гумроҳии мутлаќ │Δu│funktsii Y, бо истифода аз формулаи

│Δu│≈│dy│ = │ е '(х) ││Δh│,

ки │Δh│yavlyaetsya далели гумроҳии ниҳоӣ. │Δu│ миқдор бояд боло мудаввар карда мешавад, чунон ки ҳисоб нодуруст худ иваз намудани афзоиши оид ба іисоб гуногуни аст.